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ロピタルの定理

1 :恥ずかしながら初心者:05/03/11 14:18:44
こないだ習いました オイラーの公式と同じくらい感動しました

2 :132人目の素数さん:05/03/11 14:20:18
2get

3 :132人目の素数さん:05/03/11 14:23:16
そんなだからsinx/xのx→0もロピタル使わないと求められないんだよ。

4 :132人目の素数さん:05/03/11 14:48:42
では3に証明を願おう。
トートロジーになる悪寒。

5 :132人目の素数さん:05/03/11 16:24:42
では4に定義を願おう。

6 :132人目の素数さん:05/03/11 19:27:17
糞スレの哀れな末路

7 :132人目の素数さん:05/03/11 23:05:54
x→+0のとき,
sinx<x<tanx
辺々の逆数を取ると,
cotx<1/x<cosecx
辺々にsinxをかけると,
cosx<sinx/x<1
lim(x→0)cosx=1
lim(x→0)1=1
挟み撃ちの原理より,lim(x→0)sinx/x=1

8 :132人目の素数さん:05/03/12 00:35:58
sinx < x < tanx の証明が大変だって事が分からないのかな。
激しく外出

9 :132人目の素数さん:05/03/12 02:34:16
円弧を折れ線で近似する。定義より折れ線の長さの上限=円弧の長さ(=x)
三角不等式使って折れ線の長さ<1-cosx+sinxを示す。
よってx<1-cosx+sinx
またsinx<弦の長さで、弦の長さ<xだからsinx<x
整理すると1-(1-cosx)/x<sinx/x<1
(1-cosx)/x=(sinx)^2/{x(1+cosx)}<x/(1+cosx)<x/2→0(x→0)
よって1-(1-cosx)/x→1でsinx/x→1となる。

無駄に挑発するのって性格悪いね。

10 :132人目の素数さん:05/03/12 04:30:54
円弧上で長さがxのところまでの角をxラジアンと定義するわけだが、その前に円弧
に長さが定義されていなければならない。円弧の長さは折れ線の長さの上限で定義
する。xラジアンになるべき位置の円弧の長さがxになるということは、その円弧の
折れ線近似の上限がxになるということで、それを証明することは円周の長さが内接
多角形の周の上限になることの証明と同値、そしてそれはlim[x→0]sinx/x=1と同
内容。アララ面倒ヤナ((c)森毅)

(漏れは8ではないが、挑発してるのではなく、面積を使わず孤の長さを使えば桶と
思っているヤシに注意を促したいだけ。他意はない)


11 :ロピタル:05/03/12 05:40:21
>>8-10
これはまぁ、よく見るからいいとして。

lim[x→0](sinx)/x=1

以外にも同じような面白い例ってあるのかなぁ?
いつもこればっかりじゃあ面白くないからね。

>>1
ロピタルさんについて教えてたもれ。どういう人なの?

12 :132人目の素数さん:05/03/12 05:59:54
n階のロピタル定理=ただのテイラー展開じゃん

13 :132人目の素数さん:05/03/12 06:40:01
全然面倒ではない。


14 :132人目の素数さん:05/03/12 08:01:52
円の面積がπr^2という事も使っちゃいかんのかな

15 :132人目の素数さん:05/03/12 12:38:41
>円周の長さが内接多角形の周の上限になることの証明
この時の「円周の長さ」の定義が「内接多角形の周の上限」なんじゃないのか?
それとも多角形の角を増やしていくと周の長さがある数に収束する事を示せというのか?

16 :132人目の素数さん:05/03/12 12:59:20
あぁ、「折れ線の長さの上限」=「内接多角形の長さの上限」を示せと言うわけか。ふむ

17 :132人目の素数さん:05/03/12 14:41:09
>>14
積分使わずに証明できればおk。
実は背理法により可能。

18 :132人目の素数さん:05/03/12 16:31:50
>>17
うーん。S=ar^2(a<π)として、a<q<πなる有理数qをうまく
作って、内接多角形を作って矛盾。より大きいほうも同様

という感じ?で、ここから扇形の面積はr^2θ/2となると

19 :132人目の素数さん:05/03/12 17:54:48
>>18
そんな感じ。
「アルキメデス 円の面積 背理法」で具々れ。

20 :132人目の素数さん:05/03/12 18:00:41
結論
sinxを無限級数で定義すればok

21 :132人目の素数さん:05/03/12 18:21:54
>>15-16
たいていは、そこで凸性を使う。

「曲線の長さ=折れ線の長さの上限」で定義すると、定義自体には
微積分はいらない。凸性があるので、円の場合は
「折れ線=内接多角形」となる。

そこで、>>9 に示されているように、
「任意の内接多角形の長さ<1-cosx+sinx」
は、明らか。よって、実数の連続性から上限 x は存在して
「x ≦ 1-cos x+sin x 」
(実際には等号は成り立たない)

高校教科書のように「x <tan x 」を厳密に示そうと難しい。
「凸なら、外接する折れ線の長さ>弧の長さ」を示すことになる。

x ≦ 1-cos x+sin x のほうが簡単なのだが「上限」の説明が難しいね。
むろん、x が小さいときは tan x < 1-cos x+sin x 。

22 :132人目の素数さん:05/03/12 19:12:54
>>12
いや、ロピタルとテイラーは、互いに他をカバーしきれていないので、両方必要。
たとえば、lim[x→0]について、テイラーではf'(0)の存在が必要だがロピタルで
は必要ない。


23 :132人目の素数さん:05/03/12 19:33:06
>>20
そんな事言ったら、微分方程式の解で定義とかいくらででもあるだろ。
そんな天下り的な定義では初学者は納得しない。

24 :132人目の素数さん:05/03/12 22:34:08
×初学者 ○>>23 でしょ。

25 :132人目の素数さん:05/03/13 00:16:17
>>20
sinxを無限級数で定義するには、ベキ級数の性質についてのけっこう面倒な準備が必
要だろうが、まあそれはいいとしよう。lim[x→0]sinx/x=1は自明になり大変結構。

ただしその他の議論や理解を円滑にするためには、その定義で単位円上xラジアンの
点のx座標がsinxであることを証明していただかねばならんわけだが、それは簡単な
のかね?

26 :25:05/03/13 00:21:05
間違えた
x座標 → y座標

27 :132人目の素数さん:05/03/13 02:29:18
>>25
簡単じゃないかもしれんね。話題が尽きたらそこらへん考えるのもいいかもしれん。

28 :132人目の素数さん:05/03/13 08:25:18
自演乙

29 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/13 18:00:36
sinを定義するにはexpを定義すれば十分であろう。
(ここではsin(z)=(exp(iz)-exp(-iz))/(2i)である。)
さて、exp(z)=∑_{n=1}^{∞}z^n/n!だが、
これの収束半径が∞であることが重要である。
ダランベールの判定法の適用を試みることにすると、
(z^(n+1)/(n+1)!)/(z^n/n!)=z/(n+1)→0 as n→∞であるから、
exp(z)の収束半径は∞である。
(さらにいうと、この級数は絶対かつ広義一様収束する。)

30 :132人目の素数さん:05/03/13 18:01:45
king来るの遅いよking

31 :132人目の素数さん:05/03/13 18:04:48
>>25
簡単ではないが難しくもない。教科書の逆をやるような感じでできる。
結局は >>9>>21 と同程度で、どうやっても苦労は同じ。


32 :132人目の素数さん:05/03/13 18:06:13
>>29
とりあえずその定義で正弦定理の証明きぼん

33 :132人目の素数さん:05/03/13 19:16:50
kingをhingにしよう

34 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/13 19:19:23
Re:>32 三角形の奴か?それはある意味、角度の定義が全てだな。それから直角三角形と角度の関係を示せばよい。

35 :132人目の素数さん:05/03/13 21:51:17
やはり微分を用いずに三角関数を定義するのが自然だな。
ある関数の逆関数で定義するというものもある。

36 :132人目の素数さん:05/03/13 21:56:10
∫1/x でlogを定義→逆でexp、解析接続->(C上の)線型結合ででsin, cos、とか?

37 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/13 22:00:49
Re:>36 それもありだろうけど、[>35]の言ってるのはそうじゃないと思う。

38 :132人目の素数さん:05/03/13 22:03:45
んじゃ、sin^(-1), cos^(-1)を級数で定義→その逆、とか?

39 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/13 22:05:44
Re:>38 級数を使うのならexpから定義するのが明らかに有利だが。sinの逆関数を、∫_{-1}^{x}(1-x^2)^(-1/2)dxで定義するんだよ。(

40 :132人目の素数さん:05/03/13 22:58:33
>>34
いや、関数論至上主義でやると、初等的な定理の証明がどのくらい複雑になるか
見たくてね。w

角度の定義はできてるとしていいから、
>それから直角三角形と角度の関係を示せばよい。
これがどのくらいの長さの証明になるのかアウトラインだけでも示せないか?


41 :132人目の素数さん:05/03/15 02:17:48
>>9の折れ線の長さ<1-cosx+sinxって、三角不等式をどう使って出すの?

42 :132人目の素数さん:05/03/15 06:00:00
x軸方向とy軸方向に分ける。


43 :132人目の素数さん:05/03/15 08:05:08
歴史的な考察すれば、やっぱり初等幾何だよな。

44 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/15 17:31:13
Re:>40
いや、角度の定義を明らかにしないとこれは証明できないんだよ。
とりあえず、やっつけでやってみよう。(他にもっとまともな定義がある。)
空間に点A,B,Cがあって、それぞれは互いに異なる位置にあるとする。
cos(角BAC)を定義しよう。
Aが原点の場合は、B,Cの位置ベクトルをb,cとするとき、cos(角BAC)=b·c/(|b||c|)とする。
(この定義だと角BACが劣角か優角かが定まらず、sinを計算するとき困る。この問題を解消するには、動径を考えればよい。(動径をどう考えるかがまた問題だ。))
とりあえず、角BACは0以上π以下の値をとるとする。
Aが一般の位置にある場合は、平行移動して同様に定義する。
さて、Oを原点として、Bがx軸の正の部分にあり、Cはxy平面上にあってy座標が正とする。
Bのx座標をa,Cのx座標をa,Cのy座標をbとすると、
ベクトルBOとベクトルBCの内積は、0であり、角OBCはπ/2になる。そして、cos(角BOC)=a/√(a^2+b^2)である。
後は、OC,OB,BCの関係を調べればよい。
OC=√(a^2+b^2),OB=a,BC=bであり、OB/OC=cos(角BOC),BC/OC=b/√(a^2+b^2)=√(1-cos(角BOC))=sin(角BOC)が成り立つ。
(角度の定義が不十分だったが、これで少なくともcosと内積の関係が分かれば十分であることが分かる。)
(ごく特別な場合にしかやってないが、直交変換で内積は不変であるという事実に注意しよう。)

45 :132人目の素数さん:05/03/17 00:49:13
>>44
>cos(角BAC)を定義しよう。
>Aが原点の場合は、B,Cの位置ベクトルをb,cとするとき、cos(角BAC)=b·c/(|b||c|)とする。

ええと、そのcos(角BAC)の定義は、cos(z)=1-z^2/2!+z^4/4!-…によるcos(z)の
定義(こっちが先でしたよね)にどう関係するの?(>>44の言い方だとcosという関
数が二重定義されているように見える)


46 :132人目の素数さん:05/03/17 01:45:00
角BACを定義しよう。


47 :132人目の素数さん:05/03/17 05:35:55
age

48 :132人目の素数さん:05/03/19 11:40:14
要するに、角をどう定義するにせよ、最終的にはラジアン単位の実数値に対応させる
わけで、zが実数xのときのcos(x)はすでに(級数で)定義されているわけだから、
それがb·c/(|b||c|)とかに一致することを証明しなければならないと思う。

トータルでどっちが苦労多い?と(初等関数を級数で定義したがる著者に)問いた
い、小一時間問い詰めたいわけ。(関数論とかの中だけ局所的にスムーズに議論で
きたって意味ないじゃん)

49 :132人目の素数さん:05/03/19 22:48:16
age

50 :BlackLightOfStar ◆27QTQsYmvQ :05/03/19 23:17:26
>>44 詐称。

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51 :132人目の素数さん:05/03/20 00:53:47
まず単位円上で(1,0)から(cosx,sinx)までの弧の長さを
計算してみれば。


52 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/20 07:39:59
Re:>48 だから角度を定義しないといけないと言っているだろう。(0以上π以下の場合では、内積による定義で十分だけど、やはり納得いかないという人も居るかな?)

53 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/20 07:40:34
Re:>50 お前誰だよ?

54 :132人目の素数さん:05/03/20 14:33:56
>わけで、zが実数xのときのcos(x)はすでに(級数で)定義されているわけだから、
>それがb·c/(|b||c|)とかに一致することを証明しなければならないと思う。

それだけなら、たいして難しくはないから演習問題だな。むろん
幾何学的定義より簡単になるわけではない。何をやっても、たいてい
苦労は同じだよ。著者の変わりに俺が答えてあげよう:

「微積分の本を書くためだけなら級数のほうが楽ってことさ」

55 :132人目の素数さん:2005/03/21(月) 18:36:40
まず元々の幾何がどう定義されてるかちゃんと言ってもらわんと
級数使った定義と同じかどうか比べようが無い。

56 :132人目の素数さん:2005/03/21(月) 22:18:59
これほどスレ違いの議論が延々と続くスレッドも珍しい。

57 :132人目の素数さん:2005/03/21(月) 22:44:25
sinx/xのやつってさ、面積の不等式で求めるやつは循環論法になるとか言ってるけどさ、
円を扇形に細かく切って半分ずつ並べて平行四辺形を作るやり方で、
円の面積は2πr^2って小学校のときに一応習ってるんだよね。
ただ式を教えられただけじゃなくってさ。だから循環論法じゃないと思うんだけど。
こんな曖昧な求め方じゃダメってことなの?

58 :132人目の素数さん:2005/03/21(月) 22:52:53
ごめん、2πr^2じゃなくてπr^2でしたね。

59 :132人目の素数さん:2005/03/22(火) 07:43:25
57の考える「円の面積」の定義って何なんだろうね。

60 :132人目の素数さん:2005/03/23(水) 04:07:07
どうも根本的に納得いかない。
円弧には長さが存在することを示せと言うわけだが、
1.「sinx/x→1(x→0)をロピタルの定理を使わずに示せ」というような問題のときに、
このような議論をせねばならない積極的な理由が全く分からない。
(トートロジーがどうこう言っているがナンセンス。トートロジーで
なにが悪いのか?)
2.円弧に長さが存在しない可能性をまず言うべき。
言い換えると、円弧の長さというものが自明でないと思えるような言及をすべき。
これではアブストラクトナンセンスだ。
こんなことを言うんだったら、たとえばじゃあ実数とは何だ?数とは何だ?
極限とは何だ?それに答えなければ、証明出来てないことになるぞ。


61 :132人目の素数さん:2005/03/23(水) 22:15:16
age

62 :132人目の素数さん:2005/03/23(水) 22:54:45
>>60
> こんなことを言うんだったら、たとえばじゃあ実数とは何だ?数とは何だ?
> 極限とは何だ?それに答えなければ、証明出来てないことになるぞ。

普通にデデキント=ペアノの自然数の公理から始めて実数体を構成できるし、
そこから複素数体も容易に構成できる。極限の定義も容易。だから解析学では
冪級数から出発すれば良いだけなのでは?幾何学基礎論的に角度を公理的に定
義して、こいつに実数を対応させるのは二度手間になると思わない?

63 :60:2005/03/25(金) 00:44:36
>>62
どうもアンカー付けなかったのが悪かったみたい。
オレが言ってるのは
「sinx/x→1(x→0)をロピタルの定理を使わずに示せ」
という問題が出されたときに、>>7で証明として悪い
理由が分からないということ。なぜ円弧の長さが存在するか
などと言うことを疑わなければならないのか。円弧がたとえば
フラクタルに見えるわけか?そんなのは言いがかりだ。

>>7を証明と認めた上で、他のアプローチもあるという話なら
なんらかまわないんじゃない?そりゃ別証明は当然あるだろうから。

(ちなみに>>7はx→+0が途中でx→0に変わってるけど、
まあマイナーなことだからそれはよしとして)


64 :132人目の素数さん:2005/03/30(水) 11:45:01
まあ、sinxは冪級数で定義するのが一番楽だな。
>>62
>幾何学基礎論的に角度を公理的に定
>義して、こいつに実数を対応させるのは二度手間になると思わない?
に同意見。

65 :132人目の素数さん:2005/03/31(木) 00:16:18
>>63
>>9 なら問題ないが、>>7 はダメ。
その理由は >>8 その他過去レスor各種サイト参照。

66 :132人目の素数さん:2005/03/31(木) 00:30:00
駄目じゃないと思う。


67 :132人目の素数さん:2005/03/31(木) 23:34:20
age

68 :63:81/64/49/36/25/16/09/04/01(金) 23:50:35
>>65
>その理由は >>8 その他過去レスor各種サイト参照。
理由を詳しくは知らないのだけれど、たぶん円の面積を出すのに積分使うから
云々を言うのだろうと思うけど、そんなこと関係ないと思う。
結局突き詰めれば好みの問題に過ぎない。
「半径1の円の面積はπであることは常識」で別に構わないと思う。
証明しなければならない範囲を厳密に規定できると考えるのはナンセンス。

(それが出来るのはまだ知られていない新しい事実を証明しているときか、でなければ
全てを公理系のみから組み立ててゆこうという話をしている時だけじゃないかと思う。)

常識的によく知られている事実を「常識」で済ませてはいけないというのだったら
実数とは何か?実数と直線や曲線の長さとが一対一に対応する
という証明はどこにあるのか?極限とは何か?
などなど、キリがなくなるのはあきらか。


69 :132人目の素数さん:81/64/49/36/25/16/09/04/02(土) 00:05:37
ま、>>7 はダメだ。

70 :132人目の素数さん:81/64/49/36/25/16/09/04/02(土) 00:15:23
>>7 のどこが間違っているのかわからなくても、
人生困ることはないから、まあ気楽に生きていけよw

71 :132人目の素数さん:81/64/49/36/25/16/09/04/02(土) 12:52:06
結局好みの問題に過ぎないってこと?
終了かな。

72 :132人目の素数さん:81/64/49/36/25/16/9年,2005/04/02(土) 17:01:22
>>71
きみが正解だ。これで終了だね。

73 :132人目の素数さん:2005/04/03(日) 20:14:20
必死な7が痛い。

74 :132人目の素数さん:2005/04/03(日) 21:52:56
好みに過ぎないことを薄弱な根拠で押しつけられてもねぇ。
いい迷惑だな。

75 :132人目の素数さん:2005/04/04(月) 00:14:27
>>74
君の勝ちだ。おめでとう。

76 :132人目の素数さん:2005/04/04(月) 06:16:46
age

77 :132人目の素数さん:2005/04/22(金) 17:05:16
712

78 ::2005/04/22(金) 18:03:33

curvilinear square method とはどういう意味ですか?



79 :132人目の素数さん:2005/05/08(日) 03:53:29
286

80 :132人目の素数さん:2005/05/08(日) 05:50:44
>>63
いや、あのう、俺も相当数学わかってない人間だけどさ、
キミのような考えからいったら、x→0の時、sinx/x→1って
もはや直観から明らかにならない?(sinとxを図に書いて示してさ)

81 :132人目の素数さん:2005/05/09(月) 16:02:19
>>80
その言い分を排除することは、正確には出来ないだろうね。
ただ、それじゃあまりに荒っぽい説明だから、もうちょっと
曖昧さなく言ってくれという要求はするよ。
で、その要求に答えるとなると上で言ってるようなことを
言わざるを得なくなるんじゃない?
上でも、たとえば「半径1の円の面積はπは常識」では
ダメで、もうちょっと説明しろってことになると積分の定義
をして円の面積を実際に計算するってことになるんだろうね。

だから君の言ってることはすこしズレている。問題は、
それでもダメだみたいなことを言う人たちがいた
ってことなんだから。


82 :132人目の素数さん:2005/05/29(日) 21:51:14
805

83 :132人目の素数さん:2005/05/29(日) 22:26:55
>>81
君が正しい。よかったよかった。

84 :132人目の素数さん:2005/05/29(日) 22:28:42
で、解決策は?

85 :132人目の素数さん:2005/05/29(日) 22:44:46
解決策=すべて好みの問題

86 :132人目の素数さん:2005/05/30(月) 00:50:33
ヴィヴィアニの窓

87 :132人目の素数さん:2005/05/30(月) 03:45:52
つまりこういうことか
「ボクチンにとってはこれでいいんですぅ〜」

88 :132人目の素数さん:2005/06/18(土) 02:37:32
以降最後に書き込みした奴の勝ち。
よ〜いスタート!


89 :132人目の素数さん:2005/06/18(土) 18:05:32
age

90 :132人目の素数さん:2005/07/13(水) 14:48:54
471

91 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 18:09:22
199

92 :132人目の素数さん:2005/08/25(木) 02:29:18
オワ

93 :132人目の素数さん:2005/08/25(木) 16:36:41
ロピタルの本職は医者だよ。アレクシもこれぐらいの定理作れるかな?

94 :132人目の素数さん:2005/08/25(木) 18:01:27
ロピタルの定理とはこんなこと。

ttp://imai48.hp.infoseek.co.jp/english/kou/kyoku/keisan/no0012.html

95 :132人目の素数さん:2005/10/08(土) 11:56:26
599

96 :132人目の素数さん:2005/10/22(土) 00:49:37
漏れの先生はロピタルの定理なんていらない
って言って、教えてくれませんですた。

97 :132人目の素数さん:2005/10/22(土) 01:22:23
高2のとき、学校で習った

98 :132人目の素数さん:2005/10/22(土) 23:47:06
>>97
君が習ったのはほんの一部。
しかも結果だけ。

99 :132人目の素数さん:2005/10/23(日) 00:51:16
そして入試で牛刀をふるい、論拠の希薄な答案を作成して零点。

100 :132人目の素数さん:2005/10/24(月) 17:06:32
>>96
いらないだろ
いまどき教える奴いる?

101 :132人目の素数さん:2005/10/25(火) 09:47:09
検算に使える。
知ってた方が有利。

102 :132人目の素数さん:2005/10/25(火) 14:17:12
>>101
検算って試験用かね

103 :132人目の素数さん:2005/10/25(火) 23:30:47
生け花に使うんじゃないかなぁ

104 :132人目の素数さん:2005/10/25(火) 23:34:19
チャオズの相方のことじゃなかったけ

105 :132人目の素数さん:2005/10/26(水) 17:13:43
ロピタルは生け花に使うっと
メモメモメモ

106 :132人目の素数さん:2005/11/06(日) 18:00:58
友達で数学すごくできるやつで自分でロピタルの定理発見してるやつがいた


107 :132人目の素数さん:2005/11/06(日) 18:11:21
高校のときね

108 :132人目の素数さん:2005/11/06(日) 18:40:09
>>104
てんしんはん

109 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 11:14:34
694

110 :132人目の素数さん:2005/11/22(火) 15:38:47
>11
>ロピタルさんについて教えてたもれ。どういう人なの?

亀レスで悪いけど、
ロピタルさんは、フランス人で17世紀の人。
伯爵で、とっても裕福な人でした。
数学に興味をもち、家庭教師として、
有名なヨハン・ベルヌーイを雇いました。
ロピタルは、金にものを言わせて、ベルヌーイの発見を
買い取って、本にして自分の名前で出したそうです。
だから、ロピタルの定理の本当の発見者は、ベルヌーイなんですって。




111 :132人目の素数さん:2005/11/26(土) 06:49:31
age

112 :132人目の素数さん:2005/11/26(土) 15:32:46
ロピタルの定理って

f(x)/g(x) = f'(x) / g'(x)

のことだっけ?

113 :132人目の素数さん:2005/11/30(水) 23:35:06
こんばんわ〜
ちょっと計算していたら、以下の条件がわかったのですが、
何の定理ですか?ロピタルとは違うんですが、、、
lim(n→∞) n・tan(x/n) = x @
lim(n→∞) n・tan(π/n) = π A

Aの条件がわかり、計算していたら@も成立する事が
わかったのですが、何かの定理でしたかね?

114 :132人目の素数さん:2005/11/30(水) 23:51:07
>>113
定理っていうかtan(x)の0での微分の定義じゃない?


115 :132人目の素数さん:2005/12/01(木) 00:14:04
113です
微分ですか、なるほど確かにAは∞角形=円の面積を求める為
極小な三角形の面積をまた集め、n倍する事により円の面積を
求めてみてAが出てきたのですが、
実は、πではなくても任意のXでも@が成立するので、何かの
定理かと思ったのですが???

116 :132人目の素数さん:2005/12/02(金) 00:06:04
面積を求める時にπが出てくるのは意味があるが、tanθの角度を
表すのにπが出てくるのは意味ないよね。ただ単に比率だけを示したい
だけだし。180度でも、それを1とする としても何と定義しようが
意味ないね。
でも、113Aの式は意味の無いθを表すための計算上の比のために利用
しているπが、実際の実数としてのπとイコールとなるとは?
これいかに?

117 :132人目の素数さん:2005/12/02(金) 00:48:17
3平方の定理のほうが感動するけど。

118 :132人目の素数さん:2005/12/12(月) 21:56:15
>>116
子土崩の定義の意味を知らないようだね。

119 :132人目の素数さん:2005/12/17(土) 18:49:51
age

120 :132人目の素数さん:2006/01/02(月) 03:20:49
882

121 :132人目の素数さん:2006/01/07(土) 03:09:37
852

122 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 05:49:06
394

123 :132人目の素数さん:2006/02/24(金) 15:41:17
このスレ

 〜〜〜〜終了〜〜〜

124 :132人目の素数さん:2006/03/02(木) 18:51:47
873

125 :132人目の素数さん:2006/03/06(月) 12:25:58
↑「エル・ホスピタルの定理」と読んだことがある香具師の数

126 :132人目の素数さん:2006/03/06(月) 15:47:01
age

127 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 14:12:03


128 :132人目の素数さん:2006/04/15(土) 20:01:00
831

129 :132人目の素数さん:2006/05/09(火) 13:35:59
私にはロピタルの定理は難しかった

130 :132人目の素数さん:2006/05/13(土) 22:13:30
494

131 :132人目の素数さん:2006/05/26(金) 13:19:12
655

132 :132人目の素数さん:2006/06/16(金) 00:54:55
228

133 :132人目の素数さん:2006/07/07(金) 16:41:31
ロピタルはやめとけ

134 :132人目の素数さん:2006/07/28(金) 16:55:58
781

135 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 15:38:04
411

136 :132人目の素数さん:2006/10/02(月) 23:56:41
728

137 :132人目の素数さん:2006/11/12(日) 23:35:21
530

138 :ぴか z (.゚−゚) ◆pikaMw.D1M :2006/11/18(土) 15:48:25
 / ̄ ̄\  
< ´・    \
 | 3      丶    king氏ね
< 、・      \   
 \__/ ∪ _∪)
         U U


139 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/11/18(土) 15:55:47
talk:>>138 お前に何が分かるというのか?

140 :ぴか z (.゚−゚) ◆pikaMw.D1M :2006/11/18(土) 15:56:58
>>139
ろぴたるの定理

141 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/11/18(土) 16:01:01
talk:>>140 [>>138]はなんだよ?

142 :ぴか z (.゚−゚) ◆pikaMw.D1M :2006/11/18(土) 16:02:30
>>141
ロピタルの定理適用しているときの体の状態だ

143 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/11/18(土) 16:03:44
talk:>>142 お前に何が分かるというのか?

144 :ぴか z (.゚−゚) ◆pikaMw.D1M :2006/11/18(土) 16:04:20
>>143
ロピタルの定理

145 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/11/18(土) 16:05:56
talk:>>144 何考えてんだよ?

146 :ぴか z (.゚−゚) ◆pikaMw.D1M :2006/11/18(土) 16:07:31
>>145
ロピタルの定理

147 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/11/18(土) 16:14:20
talk:>>146 何やってんだよ?

148 :ぴか z (.゚−゚) ◆pikaMw.D1M :2006/11/18(土) 16:14:44
 / ̄ ̄\  
< ´・    \
 | 3      丶    king氏ね
< 、・      \   
 \__/ ∪ _∪)
         U U



149 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/11/18(土) 16:17:00
talk:>>148 何でそうなるんだよ?

150 :ぴか z (.゚−゚) ◆pikaMw.D1M :2006/11/18(土) 16:19:04
>>149
ロピタルの定理を適用するとこうなる

151 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 19:30:01
(sin x)/xのx→0での極限はsin xのx=0での微分係数を尋ねているわけだ。

この問題でロピタルを使うのは明らかな循環論法だよ。

152 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/11/19(日) 06:19:18
talk:>>150 お前に何が分かるというのか?

153 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 16:44:37


154 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 20:22:13
幾何的な定義ってのは細かく考えると面倒くさい
それについてどうこう言う奴はお前自身でまずsin、角度、曲線の長さなどを定義せいや

155 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 20:50:33
>>151
それはsinxの定義の仕方によって変わる。

156 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 21:01:18
>>155
sin xの定義の流儀はいろいろあるが、
微分係数という概念の定義は共通だぞ。

sin xをどのように定義しようとも(sin x)/xのx→0での極限は
(sin x)'のx=0での値だ。

157 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/11/20(月) 16:14:11
talk:>>153 お前が先に死ね。

158 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/11/20(月) 16:29:07
人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

159 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 23:54:06


160 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/11/21(火) 13:09:09
人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

161 :132人目の素数さん:2006/11/30(木) 21:10:04
lim[x→0]f(x)/x=f'(0)
これはロピタルの定理の特殊な場合。循環論法でも何でもない。

162 :132人目の素数さん:2006/11/30(木) 21:50:20
頭悪すぎ

三角関数の導関数を求めるには(sin x)/xのx→0での極限を使うんだよ

ドアホw

163 :132人目の素数さん:2006/11/30(木) 22:20:13
>>162
>>155

164 :132人目の素数さん:2006/11/30(木) 23:21:08
>>162
(sin x)/xのx→0での極限はどうやって求めるの?まさか、教科書に載ってる
インチキな証明(扇形と三角形の面積を比較するやつ)を使うわけじゃないよな?

165 :132人目の素数さん:2006/12/01(金) 05:20:43
>>164
普通は級数で三角函数を定義する。杉浦でもそうやってる。

166 :132人目の素数さん:2006/12/01(金) 05:26:05
>>162
その通り。(sin x)/xのx→0での極限は (sin x) のx=0での微分係数だ。
(sin x) のx=0での微分係数は?という問に対して
(sin x) のx=0での微分係数は1だから答えは1です、なんて答えるのは循環論法そのもの。

167 :132人目の素数さん:2006/12/01(金) 05:42:08
>>164 そんなもンは証明じゃねーよw
>>165 大学生ならそれが普通ww

168 :132人目の素数さん:2006/12/01(金) 12:31:46
>>166
> (sin x) のx=0での微分係数は1だから答えは1

それを証明しろっていう問題だね

>>165,167の言うように整級数を使って三角関数を定義するのがスマートだろう

169 :132人目の素数さん:2006/12/01(金) 23:37:15
f:R→Rは原点以外の任意の点xに対して微分可能であり、しかもα=lim[x→0]f’(x)が
存在するとする。このとき、ロピタルの定理からlim[x→0]f(x)/x=αが成り立つ。

上記のfの、原点以外での微分可能性が、lim[x→0]f(x)/x=α という式を使わずに
示せているのならば、lim[x→0]f(x)/x=αという式をロピタルの定理で以って導く
ことは 循 環 論 法 で は な い 。

三角関数を整級数を使って定義しておく。ここで、lim[x→0]sinx/x=1を証明したい。
f(x)=sinx=Σ[i=0〜∞]x^(2i+1)(-1)^i/(2i+1)!とおく。fの原点以外での微分可能性は、
f’(x)
=lim[h→0]{sin(x+h)−sinx}/h (f'の定義より)
=lim[h→0]Σ[i=0〜∞]{(x+h)^(2i+1)−x^(2i+1)}(-1)^i/{h(2i+1)!}
=Σ[i=0〜∞]lim[h→0]{(x+h)^(2i+1)−x^(2i+1)}(-1)^i/{h(2i+1)!} (極限の順序交換が可能。証明は略)
=Σ[i=0〜∞]x^(2i)(-1)^i/(2i)!
=cosx
となる。lim[x→0]sinx/x=1という式を使わずに、原点以外での微分可能性が
示せていることに注意する。このとき、
lim[x→0]sinx/x
=lim[x→0]f(x)/x
=lim[x→0]f’(x) (ロピタルの定理)
=lim[x→0]cosx
=1
となる。よって、lim[x→0]sinx/x=1が成り立つ。この証明は循環論法では無い。

170 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 09:04:43
>>169
> f(x)=sinx=Σ[i=0〜∞]x^(2i+1)(-1)^i/(2i+1)!とおく。

これを項別微分して(sin x)' = cos x。
特にx=0として(sin x)'のx=0での値はcos 0 = 1。
よってlim[x→0]sinx/x = 1。

ロピタルの出る幕は無い。

171 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 12:24:23
三角函数を級数で定義って反則だろうw

以下のように定義するのが自然。

単位円の方程式(さしあたって第一象限の円弧のみ考える)
x^ 2 + y^2 = 1

から
x = √(1 - y^2)

y で微分して

dx/dy = -y/√(1 - y^2)

(dx/dy)^2 = y^2/(1 - y^2)

1 + (dx/dy)^2 = 1/(1 - y^2)

よって y = 0 から y までの円の弧長 θ は
θ = ∫[0, y]√(1 + (dx/dy)^2) = ∫[0, y]dy/√(1 - y^2)

よって
dθ/dy = 1/√(1 - y^2)

この逆関数が y = sin(θ)

172 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 12:53:08
メコスジの定理

173 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 12:55:54
何が反則なんだかわけわかめw

174 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 13:02:26
>>173

その級数はどこからか見つけてきたんだろ。
つまり定義は別にあるってこと。
それを知らないふりをしてるから反則だっての。

175 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 13:03:36
そういう文句は小平とか杉浦に言えよw

176 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 13:58:44
>>174
いや、なんか自然そうな級数だから sin,cos って名前を
付けてみたんだよ。それが単位円云々になったのは偶然。

177 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 14:00:16
新スレ立てるときはその2とかしてくれよな。

178 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 14:27:10
>>171の方法は積分論をかなり準備しなきゃいけないので教える方としては辛いと思う。
弧長の逆函数として得られる函数はいくつかあるので、そういう方法は知っておくべきだけどね。

>>176がいうように、e^ix=cos x + i * sin xから出発すれば
cos x、sin xの級数表示は自然に得られるし、数学的な準備はそっちの方が楽。

179 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 14:55:05
>>178
>e^ix=cos x + i * sin xから出発すれば

それもずるだよな。
皆、三角関数が円弧からきていることは知っている。
知っていて知らないふり。それも場合による。
場合によってはその知識をちゃっかり使う。
つまりご都合主義。
ずるいw

180 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 14:56:13
>>178
級数の収束、微分と無限和の交換可能とか、結局は準備はいるけどねえ。
加法定理やろうとしたら、二重級数になるし。

初等関数の厳密な定義には、ある程度微積分を教えてからでないとできないね。

181 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 14:57:30
>>179
「三角」関数が円弧から来ているってのも、ずるだよなあ。
直角三角形だけからはじめないとw

182 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 15:03:14
>>179
なにがズルなんだ?

> e^ix=cos x + i * sin xから出発すれば
円弧を複素平面で扱っているだけじゃんw

183 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 15:10:07
>>180
> 加法定理やろうとしたら、二重級数になるし。
普通は二重級数を使わずに指数法則e^(x+y)=e^x * e^yを使う。
三角関数の加法定理なんて覚えられないから、いっつも
指数法則から導出してた(といっても0.01秒程度の脳内操作だが)。

184 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 15:10:59
>>183
e^(x+y)=e^x * e^y は、どうやって証明するの?

185 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 15:15:06
高校数学における実数偏重主義の弊害ですね

初等関数を実数の世界だけで考察するのは、窮屈だし、あまりメリットが無いように思いますよ

186 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 15:19:15
今は高校で複素数をやらないの?
複素平面とかド・モアブルの定理とか。

187 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 15:21:56
新課程(今の大学1年から)では、複素平面がなくなって複素数は
方程式を解くために使うだけ。それも、数IIで教える。

まあ、複素平面は1980年ごろ(数学IIBとか言ってた時代)にも
なかったけどね。

188 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 15:46:22
ゆとり教育ってやつか。
アメリカじゃ数学教育に力を入れてるってのに。

189 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 16:01:25
いちおう指導要領を擁護しておく(したくないがw)と、複素平面を
入れたら、一次変換がなくなっている。

平面の回転を複素平面で扱うか、一次変換で扱うかどちらか。今の指導要領
では、複素平面に代わって一次変換が復活した。ただし、点の回転移動だけで
直線の回転は扱わないので、昔の指導要領にくらべれば「ゆとり」に
なってしまっている。面白みがなくなってしまった。

190 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 16:13:15
昔は(1960年代後半)一次変換の代わりに座標変換があった。
行列はなかった。
複素平面も初等幾何もあった。
なんで初等教育をいじるんだろな。
初等教育ってのは数学がどんなに進歩してもそれほど変える
必要はない。
問題ないものをいじるっていうのはちょっとというか、かなりアホ。

役人根性なんだろうな。なんか変えないと自分たちの存在意義が
ないと。教えられるほうがいい迷惑。

191 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 16:27:10
昭和44年告示の学習指導要領がひとつの転換点。
いわゆる「現代化カリキュラム」。
その理念は「基礎概念をしっかりやれば応用なんて簡単」。
それ以前は複利計算のような実用的な題材も多かったが、
数学屋的な意味での基礎概念重視になった。

昭和44年告示分は「小学校で集合論を教える」など突飛な物もあり、
受験競争激化もあって、「難し過ぎる」批判が一気に出た。
そのため昭和53年告示分以降から「ゆとり」路線が始まったが、
「基礎概念をしっかりやれば応用なんて簡単」という理念自体は今も続いている。
現行指導要領を擁護する際の台詞がこれだったんだから。


192 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 16:45:00
>>191
昭和44年告示の「現代化」は、小学校で集合論とか変な部分も
あったが、あれはあれで奇跡的にうまくいったカリキュラムだと
思いますが…

行列・ベクトルがぴったりとはまったし。その後、一次変換をはずしたり、
空間図形をばっさり切ったり、いじるにつれてどんどん悪くなった点では
>>190 にも同意。

193 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 18:18:24
>>170
もちろん、そういう議論の方が普通。しかし、その議論をせずに、あえてロピタルの
定理を経由することも可能(しかも循環論法では無い)。従って、lim[x→0]sinx/x=1の
証明にロピタルの定理を使うのは(sinxを無限級数で定義した場合は)循環論法では無い。

194 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 18:26:51
f’(x) =cosx の証明のさいに、x≠0 が必須なら意味ある話だが・・・

195 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 19:20:04
>>193
>>169のようなことを書くと痴呆だと判定される可能性が高い。
わざわざロピタルなんか使うメリットがないじゃんwww

196 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 19:27:14
アホが言い訳しているだけ。

197 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 19:53:39
>>164
アレは分りやすくていいなーと思ったんだけどダメですか?
大数で蜘蛛先生も普通にその証明法してたし。

198 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 20:30:49
>ロピタルの定理
高校生の頃習った。
大学入ってから、忘れて使ってない。
今はテイラーの公式でカバーしている。

199 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 21:02:41
>>197
はいはい、高校生は受験板にお帰り。なぜダメなのかわからないなら
ロムってなさい。

>>198
実用上はあまり問題ないが、テイラーの公式は開区間で微分可能でないと
いけないので、微係数の存在を一点でのみ仮定するロピタルの方が
適用範囲は広い。まあ揚げ足取りです。

200 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 21:04:59
>>195
俺は、ロピタルの定理を使うことにメリットがあるから>>169を書いたのではなく、
>>151>>162(←特にコイツ)のように、「ロピタルの定理を使ってlim[x→0]sinx/x=1を
証明するのは(sinxをどう定義しようとも)絶対に循環論法である」と考える勘違い野郎に
説明するために書いたわけだが。

201 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 21:06:51
>>196
どこが言い訳なの?>>151>>162は正しいのか?

202 :198:2006/12/02(土) 21:41:16
>>199
>揚げ足取りです
率直なご指摘、ありがとうございます。

ただ、テイラーの公式にも、最高次の微係数については
一点でのみでの存在を仮定する version があります。
もちろん、関数は、最高次未満の微係数については、
開区間全体で存在するとします。
当然のことながら、剰余項の評価は悪いです。
収束のオーダーだけがわかればよいので。

最高次=1 のときが、ロピタルの定理に適用される場合ですね。



203 :132人目の素数さん:2006/12/02(土) 21:55:02
>>199
>微係数の存在を一点でのみ仮定するロピタル

ロピタルは微係数の存在を一点以外で仮定するんだとおもうけど

204 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 00:00:06
>203
一般化されたんじゃない?

205 :199:2006/12/03(日) 01:04:08
>>203
ああ、すまん。その点以外で仮定するんだった。

ロピタルで仮定するのは
・x≠0 での微分の存在(右か左か片側だけでも可)
・lim[x→0] f(x)=0, lim[x→0] g(x)=0
の二つで
lim[x→0] f(x)/g(x) = lim[x→0] f' (x)/g' (x)
となって、右辺が存在するなら左辺も存在して等号が成り立つことが、
ロピタルの定理。f(0), f' (0) の存在じたいは仮定しなくてよい。
x→∞ でも成り立つ。

>>202
f(0)=0 のとき、lim[x→0] f(x)/x =f' (0) というのが、f(x) の
x=0 での微係数の定義そのものですからね。たいていはこれで十分だし、
この場合、ロピタルとは逆で x≠0 での仮定は不要で x=0 で仮定がいる:
・f(0)=0
・f(x) は x=0 でのみ微分可能

206 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 01:14:19
安田の定理には唸ったもんだよ
なかなかやりますな

207 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 04:37:45
安田大サーカスの定理

208 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 09:36:53
杉浦の解析入門では節末問題で「ロピタルの法則」として取り扱っているだけで
定理扱いはしてない。
数学的にはコーシーの平均値定理の単純な使用例に過ぎない。
大学に入ってまでロピタル、ロピタル言ってる奴はガキでしょw
↓こんなバカまで登場するしwww

>>19
> 微係数の存在を一点でのみ仮定するロピタルの方が適用範囲は広い。

209 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 11:54:21
最初の方と最近 sin(θ) の定義をやっていたが、その話題は面白い。
別スレでやらないか?

210 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 12:22:23
>>209
一度その流れになりかけたが 「 >>7 が証明としてどこが悪い」と
言い張るアホが粘着したので、みんな引いてしまった。>>60-87 あたり。

2ちゃんでこの手の話(π は無理数かとか、五次方程式の解の公式とか)を
しはじめると、全体の構造を理解してないのが「俺の理解のどこが悪い」と
粘着するだけになるからな。馬鹿は無敵だw

>>7 が不完全なのは常識、それを完全にする方法は、級数なり微分方程式なり
弧長の定義なり、いくつもあることを知った人限定で、どう説明するのが
わかりやすいか議論しようなんてスレが成り立つわけねーじゃん。

211 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 12:32:51
>>210

そういうアホや粘着は無視すればいいだけのこと。
あんたの理屈なら2chの数学板のスレは全部成り立たない。

212 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 13:21:12
>>211
だから、ほとんどが糞スレと化してるじゃんw

213 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 13:46:25
>>212

2chがわかってないな。全部糞じゃないだろ。
まともなものもある。貴重な情報もたまにある。

糞は無視すればいいって言っただろ。
日本語わかるか?

214 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 13:47:48
>>213=糞を無視できないバカwww

215 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 14:12:11
>>214

別に無視しなくてもいいんだよ
ヒマなときはアホをかまうのも面白い

216 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 16:58:07
どうも1つだけ気になるんだけど、>>17-19が正しいのなら
もしかして>>7でもいいんじゃね?


217 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 19:38:05
問題なのは sin(x)<x<tan(x) をどうやって示すかって事かな。
中島「なっとくする微積分」では面積の比較でアッサリ出してるよ。

218 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 19:42:15
面積使うと評価は楽なんだけど、角度の定義を円弧の長さにすると
扇形の面積を求めるところで問題になる。>>17-19 でも同じ。

219 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 19:51:33
扇形の面積=半径×弧長÷2でしょ

220 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 19:55:45
>>219
それをどう証明する?

221 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 19:59:11
円の面積=半径×円周÷2の証明は小学生のとき図鑑で見たんだけど
アレと同じやり方じゃ駄目?

222 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:02:43
>>219
扇形の面積=半径×弧長÷2はどうやって証明するの?

223 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:07:35
「小学生の図鑑」でいいレベルなら、>>7 は何も問題ないよ(笑

224 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:09:51
>>222
221に書いたんだけど、同じ扇をもう1個用意して
ザクザク刻んで合わせると長方形みたいな図形になって、、、
っていうやり方。見たことないですか?

225 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:11:11
>>223
じゃあOKって事ですね。

226 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:12:59
幼稚園レベルならおk>225

227 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:14:13
>>224
「長方形みたいな図形の面積」≠「長方形の面積」
刻み方を細かくしていくと、両者が同じ値になっていくことを証明しなければならない。
しかし、それを証明しようと計算していくとlim[x→0]sinx/x=1を証明しなければ
ならなくなる。

228 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:16:24
おめでとう、225は微積分・小学校コースをクリアしますたw

229 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:25:07
この話しもともと高校生の教科書がでどころなんでしょ?
小学生レベルの話しで証明がOKならバンバンザイじゃん。

230 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:27:36
>>227
>しかし、それを証明しようと計算していくとlim[x→0]sinx/x=1を証明しなければ
>ならなくなる。

そうかなあ、、、
内接長方形と外接長方形の面積の差がゼロになる事の証明が問題なの?

231 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:30:06
>>229
小学生ならそれでもいいが高校以上では駄目、って意味だろw

232 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:31:27
>>230
ゼロにならなかったら、円の面積の公式はどうやって証明するの?

233 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:33:07
つうか>>17-19は本当に正しいの?ガセネタじゃなくて?
>>17-19が正しいのなら>>7はフツーに正しくないか?

234 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:38:43
>>232
長方形モドキの上下のギザギザしたところはだんだん直線に近づく
んだからゼロになるのは自明だとおもうけど。

235 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:45:48
リア厨が混じってる悪寒w

236 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:48:08
>>234
>長方形モドキの上下のギザギザしたところはだんだん直線に近づく
何で直線に近づくの?証明は?ちゃんと計算したの?

で、ちゃんと計算していくと、最後の最後にlim[x→0]sinx/x=1という式を
証明しなければならなくなる。

237 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 20:57:45
円の面積は 不定積分∫√(1 - x^2)dx を計算すればいいんだけど、
これどうやるんだっけ?

238 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:04:30
>>237
それに三角関数の微積を使うから>>7はインチキだって話しじゃなかったけっけ?

239 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:09:29
>それに三角関数の微積を使うから

使わなければいい

240 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:12:01
>>239
どうやるのか教えて。

241 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:14:28
>>236
半径(=OA=OB)rの扇形OAB(←ザクザク切り刻んだ細い扇のひとつ)
において弦ABの長さを2xとして弦ABの中点をM、
直線OMと弧ABの交点をCとおくと
線分CMの長さはr-√(r^2 - x^2)で、これが
長方形モドキのギザギザした辺の幅だから
大量に刻めばx→0となって、幅はゼロになるでしょ。

242 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:27:03
>>240

忘れたから聞いている。
積分を有理化するんだけど。

243 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:32:44
つうか円の面積πr^2を積分を使わずに求めても、結局それから
円周の長さ2πrを求めなきゃならないんだから同じことか。。。


244 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:34:49
完全に厨房スレになったね

245 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:36:14
>>243

円周の長さが2πrというのはπの定義

246 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:44:38
>>245
じゃやっぱり>>17-19がもし正しいんだったら>>7は正しいんじゃないの?
>>218がどうも意味が分からないんだけど。)

247 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:45:12
>>241
残念ながら、その計算は「長さ」と何の関係も無い。たとえ幅がゼロに近づいても、
長さが同じになるとは限らない。すなわち、弧ABと線分ABの比が1に近づくとは限らない。
正しい計算は「(弧ABの長さ)/(線分ABの長さ)が1に近づく」ことを示すこと。さあ、やって
みなさい。

248 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:50:29
円の面積を求めるには三角関数の微積を使うのが簡単だな。
で結局 sin(x) の定義に帰着する。

249 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:53:42
どうも>>17>>19はガセっぽい?(出てきてくれないかなぁ)

250 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 22:04:58
>>249
通常、面積の定義には積分あるいは測度を使う。なぜなら、この方法だと
一般の集合に面積が定義されるから。面積をこのように定義した場合、
>>17は嘘。何らかの形で積分を経由せざるを得ない。面積を別の方法で
定義した場合は>>17もありえる。

251 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 22:10:01
>>250
なんか変じゃない?一般論としての積分を使うかどうかということじゃなくて、
円の面積を求めるのはsin(x)やcos(x)の積分になるから>>7はおかしいってことでしょ?


252 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 22:17:12
>円の面積を求めるのはsin(x)やcos(x)の積分になるから
だ・か・ら、君がそこで言っている「面積」という概念が、積分を使わない
何らかの方法で定義されているのであれば、円の面積はcos(x)やsin(x)の
「積分」を使わずに求められるのだから、その場合は>>17もありえる。

253 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 22:26:20
>>252
だからそれは十分条件であって必要条件ではないでしょ?
>>7が問題だってのは高校の教科書なんかでlim(x→0)sin(x)/x=1を使って
三角関数の微分を計算するのに、その証明の途中で円の面積の話しを使っていて
その円の面積の計算をするのに置換積分でsin(x)の微分がcos(x)だってのを
使ってるから、それじゃグルグル回ってるから>>7はダメだってことじゃないの?
そのどこかが断ち切れるんなら,どこが切れても別にいいでしょ?

254 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 22:31:46
>>253
もともと十分条件の意味でしか書いていないのだが。

255 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 22:37:31
>>254
あースマンわかった。
だけど、それ>>17がウソだって根拠になるのかなぁ。>>17はそういう意味で言ってるのでは
ないと思うけどねぇ。
とかイイながら多分>>17はガセだろうけどね。

256 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 22:45:52
普通に微積使えばいいだろ。
なんでそんなもんに拘ってるのかわからん。
仮に微積使わずに sin(x)/x → 0 が証明できたとして、
どういうメリットがあるわけ?

257 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 22:47:59
>>247
>残念ながら、その計算は「長さ」と何の関係も無い。

そりゃそうでしょ。もとの扇の弧長に収束するのは
「全ての細い扇における弦AB」の和のほう。

>弧ABと線分ABの比が1に近づくとは限らない。

???それで?

>正しい計算は「(弧ABの長さ)/(線分ABの長さ)が1に近づく」ことを示すこと。

なんか俺の話とは違う話のような、、、

>さあ、やってみなさい。

そう言われてもねえ、、、
図が無いと伝わらんもんだな。

258 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 22:57:10
>>256
オマエものすごい奴だな。>>253で言ったばかりなのにそういうこと言うわけ?


259 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:02:03
>>257
ああ、分かった。俺が勘違いしていた。こうだな。
>>241の計算では、「三角形OABと扇形OABの誤差」が0に近づいていくことが示されている。
これは正しい。しかし、証明しなければならないのは、

円を細かい扇形に分割して組み替えたときにできる「長方形モドキ」の面積が「長方形の面積」に近づくこと

である。 円がn個の細かい扇形に分割されいているとすると、その中の1つを扇形OABとすれば、
「長方形モドキの面積」=n×「扇形OABの面積」となる。一方、
「長方形の面積」=n×「三角形OABの面積」となる。よって、
「長方形モドキの面積」−「長方形の面積」=n×「三角形OABと扇形OABの誤差」
となる。nを大きくしていったときに、これがゼロに近づくことを言えばよい。さて、>>241
計算により、「三角形OABと扇形OABの誤差」はゼロに近づいて行くわけだが、これのn倍までもが
ゼロにいくことは示されていない。だからダメ。

260 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:08:10
>>258

意味不明。
>>253>>7 を微積使わずに証明できるならそれもいいって
ことだろ。それはむしろ >>256 と反対の主張だろ。

261 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:10:47
>>253>>256は明らかに別人だろ。>>253-255で会話おわってんじゃん。

ところで>>17はけつまくって逃げたのか?

262 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:16:31
>>258>>253>>256 が同一人と思ったのかよ。
どこからそういう発想が出るんだよ。
勘違いにも程がある。

263 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:17:23
あと>>242も気になる。(ホントなのコレ?)

264 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:19:00
>>262
それ以前に>>256は何を言おうとしたんだ?

265 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:20:43
>>256
微積使って sin(x)/x → 0 を証明しようにも、うまくやらないとsinxの
微分にsin(x)/x → 0 が使われてしまい、循環論法に陥る。

266 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:22:01
ごめん。
誤:sin(x)/x → 0
正:sin(x)/x → 1

267 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:25:58
lim x→0 (1-cos(x))/(x^2) = lim x→0 (sin(x))/(2x) = 1/2を示せ。
ただし、(sin x)'=cos xを使うな。

268 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:26:01
>>265
>うまくやらないと

うまくやるに決まってるだろ。
例えば、>>171 のように。

269 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:31:47
>>264

微積使って sin(x)/x → 0 を証明すればいいだろと言ってる。

270 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:33:26
当然 sin(x)/x → 1 の間違い

271 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:33:53
>>209-215 の糞議論が懐かしく思える、ここ50余りのレスw

272 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:33:59
>>268
それなら無限級数でもいいな。

273 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:36:34
>>259
「(扇形OAB)−(三角形OAB)」n個の和集合が
「縦の長さCM、横の長さ(n×AB)」の長方形に含まれて、
n→∞とするとCM→0、n×AB→「もとの扇の弧長」
になるから
n×「三角形OABと扇形OABの誤差」→0
になるっていう話なんだけど。

274 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:37:28
>>269
どうやるの?

275 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:42:06
>>272

無限級数で sin(x) を定義するなら、それが角度 x ラジアンの
単位ベクトルの y 座標と一致することを証明する必要がある。

276 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:43:54
>>273
>n×AB→「もとの扇の弧長」
これはどうやって証明するの?

277 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:45:45
>>274

例えば >>171 を使う

278 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:47:11
>>276
証明っていうか、それは弧長の定義だから。

279 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:50:00
>>278
O.K. そこまで分かってれば問題ない。

280 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:50:43
>>278
弧長の定義なら 「n×AB の極限」≦扇の弧長 だな。
等号示すには、何かもう一つ準備がいる。

281 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:51:02
>>277
そういうことか。(それ普通のやり方なの?)
それは置いといて、上で言っていたのは高校の教科書の話しだよ。
円の面積が通常の高校の教科書にあるように置換積分で計算するってのじゃ
なくて別の方法があるんなら、>>7の方法が使えるって話しをしてたの。
>>7は感覚的に分かりやすいというメリットがあるから、残せるんなら残したい。

282 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:54:45
>>281
弧長(すなわちラジアン)を定義してから三角関数を定義するのが
自然なのだから、>>171 のほうが >>7 よりも正道。

>>7 が批判される理由の一つは、弧長の定義がないこと。
そのためには微積が必要なのだから、結局は >>171

283 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 23:59:21
弧の長さの定義に微積はいらないだろ。内接折れ線の上限で定義されるんだから。

284 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:02:57
>>282
正道とかそういう話しをすると>>7がおかしいのはそうなのかもね。
でもそういうこと言うと高校の教科書は全部正道ではなくなるし、
正道な方法で高校の教科書を作るのは多分不可能だろうね。
(高校でも実数を使うのだから実数の定義をまずやるのが正道とかね)


285 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:04:28
ああ、微積なくても弧長じたいは内接折れ線の上限で定義できるね。
そこから sin x/x -> 1 まで微積を回避して証明するのは
易しくはないね。

また、上限だから >>280 みたいな問題も生じる。

286 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:05:37
折れ線の上界の存在は三角不等式より直ちに導けるぞ

287 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:07:45
>>284
もともとは >>7 がおかしいという話。高校数学の教科書とか
上のほうで誰かが言っていた「小学校の図鑑」レベルでいい世界もある。

高校の教科書や小学校の図鑑が正しくないということがわかっていれば、
高校卒業時点では十分。大学で厳密にやればよい。

288 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:09:02
>>280
曲線が連続なら = になるな。

289 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:10:34
>>286
上界の存在がわかったところで、「n×AB の極限」=扇の弧長 は
すぐにはわからんだろ?

290 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:11:40
>>289
??
上界が存在すれば上限は存在する。それが弧の長さだろ。

291 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:13:58
>>290
だから、「n×AB の極限」が上限になるのかってこと。

292 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:15:18
>>287
いやだから、たとえば>>17がガセじゃなかったり>>242が本当だったりしたら
>>7は使えるんだから「もともと>>7はおかしい」とは言えなくなるって話しをしてたんだけど。

293 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:15:41
>>291
??
俺はそんな話してないだろ。

> 弧長の定義がないこと。 そのためには微積が必要なのだから

> そこから sin x/x -> 1 まで微積を回避して証明するのは易しくはないね。
に突っ込んだだけだから

294 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:16:44
>>290
「上限」という概念の定義を見直してこい。一般には、n×AB の極限が上限に一致するとは言えない。

295 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:18:21
>>293
弧長の定義に微積はいらないのはその通り。だからといって、
内接折れ線の上限で定義したところで、sin x/x -> 1 を示すのは
簡単じゃないだろ?

296 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:20:07
>>295
0<x<pi/2のとき、上界の1つに1-cosx+sinxが取れるだろ。だから sinx < x < 1-cosx+sinx が成立する。

297 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:23:38
>>296
たしかそれ「笠原」で見た。うまいもんだと思ったよ。

298 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:24:26
>>296
ああ、それなら問題ないな。わかった。

299 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:29:18
別の話を振りたいんだけど、高校の教科書は>>7を採用しているのが
いくつかある筈なんだけれど、>>7はどうもダメみたいだから、
「高校の教科書での説明」と限定して、どう修正するのが妥当なんでしょ?


300 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:30:23
>>299
>>9

301 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 01:00:16
>>300
ども

302 : ◆Z.0isxohDI :2006/12/04(月) 07:18:16
ですね。

303 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 07:33:46
>>295
> 弧長の定義に微積はいらない
> 内接折れ線の上限で定義

それって積分じゃんw

304 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 08:05:17
一年半以上前の話なのに一日も経たずに「逃げたのか?」なんて馬鹿だな

305 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 08:16:16
>>303
微分できないときにどうやって積分で定義するの?


306 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 09:17:11
>>240

X 軸上の点 (t, 0) と単位円の頂点 (0, 1) を結ぶ直線と単位円の
交点を (f(t), g(t)) とする。
f(t) と g(t) は t の有理関数になる。

∫√(1 - x^2)dx =∫ydx = ∫g(t)(df/dt)dt となる。

誰か計算してくれないか?

307 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 19:50:00
>>9でいいのなら同じように>>7も証明できるから>>7でもいい。


308 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 20:57:25
逃げたのか?

309 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 21:08:59
yesyesyesyesyesyesyesyesyesyesyesyesyesyesyesyes

310 :132人目の素数さん:2006/12/05(火) 07:44:49
>>206
証明してみた。
証明:F(x)=g(x)/h(x)とおく。Fはx=aで極値を取るから、F’(a)=0でなければ
ならない。F’(a)={g’(a)h(a)−g(a)h’(a)}/h(a)^2=0 となるので、これを
整理して、g’(a)/h’(a)=g(a)/h(a) を得る。

やってみると物凄く当たり前だな…(・д・)でもキレイ。

311 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 06:58:04
>>261

312 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 09:08:34
>>306 を計算するやつ誰もいないのかよ。

1/(1 + t^2) の積分が出てくる。
これは arctan(t) なんで結局、三角関数から逃げられない。

313 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 14:29:41
「計算」なんてしなければいい。


314 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 15:01:50
>>237>>238>>239>>240>>306>>312
三角関数を定義するのに円弧の長さが必要。
円弧の長さを計算するのに>>306>>312と同様に三角関数の微積が必要。
三角関数の定義に三角関数の微積を使うから三角関数はインチキ?


315 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 15:05:59
散々議論され尽くしたことだけど、e^ix = cos x + i sin xから出発して、級数で定義するのが正解

316 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 15:46:44
>>314
円弧の長さを微積を用いずに定義すればよい。そして、それは可能。

317 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 15:49:33
意味不明だな。
長さ、面積、体積等を定義するのは積分論の核心だぞ。

318 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:02:47
>>316
だったらその微積を用いずにの方法を>>237-240>>306>>312でも使えばいいじゃない

319 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:09:04
>>315

その定義が三角関数の普通の定義と同じことを証明する必要がある。
結局、弧長の積分計算が必要。

320 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:09:39
曲線長の定義を知らないリア厨が書き込んでいる。

321 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:10:20
杉浦の解析入門くらい読んでから書き込めよw

322 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:12:01
「曲線長の積分計算」ってなんだよ?>高坊

323 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:17:19
>>322
高校生にとって曲線長とは「曲線長の積分公式」で計算される値のこと。
どの教科書を見てもそういう説明になっているから、学習指導要領で縛られているのだろう。
定義抜きに計算公式を教え込んでもね〜という感は否めない。

324 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:20:13
>>318
曲線長の定義には微積はいらないが
>>237-240>>306>>312 は微積そのもの。

325 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:21:34
>>323
まあ、高校ではしかたない。大学で勉強しなおせばいいだけ。
いつまでも高校レベルの理解でとどまってるのが多いだけ。

326 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:22:44
>>322

知らないのか?>中坊

327 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:23:34
>>312=>>316
円弧の長さのときは微積を用いずにやってよくて
円の面積のときはやってはだめなのはなぜ?

328 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:25:37
>>323
そうなんだろうな。その結果として、「微積=微積分の計算」という低脳児が大量生産された。
そいつらにとって曲線長の定義は微積分ではないように見えるんだろうな。

329 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:26:01
>>324
>>237-240>>306>>312で微積を使ってやってるのを
使わずにやればいいじゃん

330 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:26:34
>>329
じゃあ、やってみせてw

331 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:27:43
>>330
316がやってくれる方法を面積でやればいい

332 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:29:06
>>331
で、どうやるかはわからんわけね。

333 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:31:39
>>325
一年生の今の時期なら、いくら進度が遅くとも、上積分、下積分、ダルブーの定理くらいは
やってるし、教科書を先読みしてれば曲線長の定義くらいわかる。
だから、「曲線長の積分公式」なんて振りかざすのは高校生か浪人生くらいでしょ。

334 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:35:08
>>332
R^nのルベーグ測度の定義の仕方も知らずに色々言ってたのか?

335 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:37:51
>>334
ルベーグ測度の定義が「316がやってくれる方法」とどう関係するの?w

336 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:38:57
>>333
近頃は、曲線長の定義をちゃんと書いてない教科書を使ってたり
しないかなあ(ぼそ

337 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:42:01
>>335
まず316がいってるのをやって見せて。

338 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:42:39
>>337
過去ログ嫁

339 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:49:45
>>338
内接折れ線の上限ってのだったら面積のほうも図形を長方形で覆って
その面積の下限ってやっていけば三角関数の微積は使わなくていいから
「316がやってくれる方法」はそれとは違うんだろ

340 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 16:54:03
>>339
長方形でうまく覆っていって、 sin x/x -> 1 出すことは原理的には
可能だと思いますよ。ただ、俺にはすぐに思いつかないな。

341 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 17:13:50
「316がやってくれる方法」=内接折れ線の上限でいいの?

342 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 17:32:13
>>341
正確には「上界」な。有名な誤りである sin x < x <tan x だと
証明するのが難しいが、sin x < x <1-cos x+sin x なら、内接折れ線の
上界と三角不等式からすぐ出る。>>9 参照。

343 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 17:58:27
そんなもんいらないって。
曲線長の積分公式使えばいい。
微積分じゃこの公式の証明も含めて常識なんだから。

344 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 19:54:52
>>1 名前:恥ずかしながら初心者 投稿日:05/03/11 14:18:44
こないだ習いました オイラーの公式と同じくらい感動しました

>>2 名前:132人目の素数さん 投稿日:05/03/11 14:20:18
2get

>>3 名前:132人目の素数さん 投稿日:05/03/11 14:23:16
そんなだからsinx/xのx→0もロピタル使わないと求められないんだよ。

>>1の感動について知りたいな。
>>2は馬鹿
>>3は責任取れよ

345 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 20:00:00
Aを円Oの周上の点,Lを円OのAでの接線,B,CをL上にあり
Aに対して同じ側にある点でBのほうがCよりAに近い点,
D,Eを円OとOB,OCの交点とする。
Dを通りLに平行な直線とOCとの交点をF,DからOCに下した垂線と
OCの交点をGとするとG,E,Fの順に並ぶのでDE≦DF≦BC。
弧ADの内接折線の長さ≦ABで極限をとって弧AD≦AB。
D≠AのときDでの円Oの接線とLの交点をHとすると
弧AD≦AH+DH<AH+BH=AB。


346 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 20:12:01
>>345
これは難しいそうです

347 :132人目の素数さん:2006/12/07(木) 22:46:52
平面凸集合に関して,周の長さLが一定で面積Aが最大の図形は円である
という事実から「円周<外接多角形の周の長さ」が得られるので、
これでsin(x)<tan(x)を言うってのはダメなの?


348 :347:2006/12/07(木) 22:48:15
× sin(x)<tan(x)
○ x<tan(x)

349 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 02:26:26
>平面凸集合に関して,周の長さLが一定で面積Aが最大の図形は円である
これはどうやって証明するの?

350 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 19:46:03
>>349
等周問題でググると出てくる。

351 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 21:09:41
等周問題でググったら変分法が出てきた。変分法のことはよく分からんけど、変分法で
・平面凸集合に関して,周の長さLが一定で面積Aが最大の図形は円である
を証明するときにsinx, cosxの微分は使わないのか?もし使うのなら>>347はアウトだ。

352 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 21:38:15
>sinx, cosxの微分は使わないのか
正確に言うと (sin(x))'=cos(x) を使うのかどうかだよね?
たとえばここ見てみて。
http://www.ph.sophia.ac.jp/~goto-ken/text/kaisekirikigaku/toshumondai.html
たぶん使ってないんじゃない?


353 :132人目の素数さん:2006/12/10(日) 20:07:16
逃げたのか?

354 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 13:50:29
yes

355 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 15:19:26
>>9の1-cosx+sinxって何を意味してる?教えてえらいひと

356 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 15:26:24
上界のひとつ

357 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 14:07:47
844

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